Rezolvare derivate – formule și aplicații

Derivate explicate prin exemple rezolvate

Derivata descrie variația instantanee a unei funcții. În problemele de liceu, ea este folosită pentru calculul pantelor tangentelor, determinarea intervalelor de monotonie și identificarea punctelor de extrem.

Exemplul 1: derivarea unui polinom

Calculăm derivata funcției f(x) = x³ − 5x² + 2.

Aplicăm regula (xⁿ)' = n × xⁿ⁻¹.

Derivata lui x³ este 3x².

Derivata lui −5x² este −10x.

Derivata constantei 2 este zero.

Rezultat: f'(x) = 3x² − 10x.

Exemplul 2: intervale de monotonie

Considerăm funcția g(x) = x² − 4x + 3.

Calculăm derivata: g'(x) = 2x − 4.

Rezolvăm g'(x) = 0 și obținem x = 2.

Pentru x < 2, derivata este negativă, deci funcția este strict descrescătoare.

Pentru x > 2, derivata este pozitivă, deci funcția este strict crescătoare.

În x = 2, funcția are un minim.

g(2) = 4 − 8 + 3 = −1.

Punctul de minim este (2, −1).

Exemplul 3: ecuația tangentei

Determinăm tangenta la graficul funcției h(x) = x² în punctul cu abscisa x = 1.

Calculăm h(1) = 1 și h'(x) = 2x.

Panta tangentei este h'(1) = 2.

Folosim ecuația y − h(1) = h'(1)(x − 1).

Rezultă y − 1 = 2(x − 1).

Ecuația tangentei este y = 2x − 1.

Greșeli frecvente

Nu confunda valoarea funcției cu valoarea derivatei. Ecuația f'(x) = 0 identifică puncte critice, dar nu garantează că fiecare dintre acestea este un maxim sau minim. Pentru clasificare trebuie analizat semnul derivatei sau aplicată o altă metodă justificată.