Rezolvare ecuații cu radicali – pași și exemple

Ecuații cu radicali: exemple și verificarea soluțiilor

În ecuațiile cu radicali, ridicarea la pătrat poate produce soluții extranee. De aceea trebuie să stabilim condițiile de existență și să verificăm fiecare candidat în ecuația inițială.

Exemplul 1: ecuație simplă

Rezolvăm ecuația √(x + 5) = 4.

Condiția de existență este x + 5 ≥ 0, deci x ≥ −5.

Ridicăm la pătrat: x + 5 = 16.

Obținem x = 11.

Verificare: √(11 + 5) = √16 = 4.

Soluția este x = 11.

Exemplul 2: soluție extranee

Rezolvăm ecuația √(x + 1) = x − 1.

Trebuie să avem x + 1 ≥ 0 și x − 1 ≥ 0.

Prin urmare, x ≥ 1.

Ridicăm la pătrat:

x + 1 = (x − 1)².

Dezvoltăm: x + 1 = x² − 2x + 1.

Reducem termenii: x² − 3x = 0.

Factorizăm: x(x − 3) = 0.

Obținem candidații x = 0 și x = 3.

Valoarea x = 0 nu respectă condiția x ≥ 1.

Pentru x = 3, avem √4 = 2 și 3 − 1 = 2.

Singura soluție este x = 3.

Exemplul 3: radical egal cu zero

Rezolvăm ecuația √(2x − 6) = 0.

Condiția de existență este 2x − 6 ≥ 0.

Ridicăm la pătrat și obținem 2x − 6 = 0.

Rezultă x = 3.

Verificare: √(2 × 3 − 6) = √0 = 0.

Soluția este x = 3.

Greșeli frecvente

Radicalul principal este întotdeauna nenegativ. Dacă membrul din dreapta este negativ, egalitatea nu poate fi adevărată. Nu accepta automat toate rădăcinile ecuației obținute după ridicarea la pătrat.