Rezolvare ecuații exponențiale – pași și exemple

Ecuații exponențiale rezolvate pas cu pas

O ecuație exponențială conține necunoscuta la exponent. Când putem transforma ambii membri în puteri ale aceleiași baze pozitive, diferite de 1, egalitatea puterilor implică egalitatea exponenților.

Exemplul 1: aducerea la aceeași bază

Rezolvă ecuația 2^(x+1) = 8.

Observăm că 8 = 2³.

Ecuația devine 2^(x+1) = 2³.

Egalăm exponenții: x + 1 = 3.

Scădem 1 și obținem x = 2.

Verificare: 2^(2+1) = 2³ = 8.

Soluția este x = 2.

Exemplul 2: transformarea bazelor

Rezolvă ecuația 4^x = 32.

Scriem 4 = 2² și 32 = 2⁵.

Obținem (2²)^x = 2⁵.

Aplicăm regula puterii unei puteri: 2^(2x) = 2⁵.

Egalăm exponenții: 2x = 5.

Soluția este x = 5/2.

Exemplul 3: substituție

Rezolvă ecuația 2^(2x) − 5 × 2^x + 4 = 0.

Notăm t = 2^x. Deoarece 2^x > 0, avem t > 0.

Ecuația devine t² − 5t + 4 = 0.

Factorizăm: (t − 1)(t − 4) = 0.

Obținem t = 1 sau t = 4.

Dacă 2^x = 1, atunci x = 0.

Dacă 2^x = 4, atunci x = 2.

Mulțimea soluțiilor este {0, 2}.

Greșeli frecvente

Nu confunda a^(m+n) cu a^m + a^n. Formula corectă este a^(m+n) = a^m × a^n. La substituție, verifică restricția t > 0 înainte să revii la necunoscuta inițială.