Rezolvare ecuații logaritmice – pași și exemple

Ecuații logaritmice rezolvate pas cu pas

Înainte de rezolvarea unei ecuații logaritmice, stabilim condițiile de existență. Argumentul fiecărui logaritm trebuie să fie strict pozitiv, iar baza trebuie să fie pozitivă și diferită de 1.

Exemplul 1: ecuație logaritmică simplă

Rezolvăm log în baza 2 din x = 3.

Condiția de existență este x > 0.

Transformăm în formă exponențială:

x = 2³.

Rezultă x = 8.

Verificare: log în baza 2 din 8 = 3.

Soluția este x = 8.

Exemplul 2: logaritm cu expresie

Rezolvăm log în baza 3 din (x − 1) = 2.

Condiția este x − 1 > 0, deci x > 1.

Transformăm ecuația:

x − 1 = 3² = 9.

Obținem x = 10.

Valoarea respectă condiția de existență.

Soluția este x = 10.

Exemplul 3: suma a doi logaritmi

Rezolvăm log în baza 2 din x plus log în baza 2 din (x − 2) = 3.

Condițiile sunt x > 0 și x − 2 > 0, deci x > 2.

Aplicăm proprietatea sumei logaritmilor:

log în baza 2 din [x(x − 2)] = 3.

Transformăm în ecuație algebrică:

x(x − 2) = 8.

x² − 2x − 8 = 0.

Factorizăm: (x − 4)(x + 2) = 0.

Obținem candidații x = 4 și x = −2.

Valoarea −2 nu respectă condiția x > 2.

Singura soluție este x = 4.

Exemplul 4: egalitatea a doi logaritmi

Rezolvăm log în baza 5 din (2x + 1) egal cu log în baza 5 din (x + 4).

Condițiile sunt 2x + 1 > 0 și x + 4 > 0.

Deoarece funcția logaritmică este injectivă, egalăm argumentele:

2x + 1 = x + 4.

Obținem x = 3.

Verificăm condițiile: 7 > 0 și 7 > 0.

Soluția este x = 3.

Greșeli frecvente

Nu calcula logaritmul unui număr negativ sau zero în mulțimea numerelor reale. Proprietatea log(a) + log(b) = log(ab) se aplică pentru aceeași bază validă și argumente strict pozitive. Verifică soluțiile după fiecare transformare.