Rezolvare integrale – primitive și calcule

Integrale și primitive: exemple rezolvate

O primitivă a unei funcții f este o funcție F a cărei derivată este f. O integrală nedefinită reprezintă familia primitivelor și include constanta C. O integrală definită are limite de integrare și produce un număr, atunci când este bine definită.

Exemplul 1: integrală nedefinită

Calculăm ∫ 3x² dx.

Folosim formula ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, valabilă pentru n diferit de −1.

∫ 3x² dx = 3 × x³/3 + C.

Rezultat: x³ + C.

Verificare: derivata lui x³ + C este 3x².

Exemplul 2: integrala unei sume

Calculăm ∫ (2x + 3) dx.

Integrăm separat termenii:

∫ 2x dx = x² și ∫ 3 dx = 3x.

Rezultat: x² + 3x + C.

Verificăm prin derivare: (x² + 3x + C)' = 2x + 3.

Exemplul 3: integrală definită

Calculăm integrala de la 0 la 2 din funcția 2x.

O primitivă a funcției 2x este F(x) = x².

Aplicăm formula Newton–Leibniz:

F(2) − F(0) = 2² − 0² = 4.

Valoarea integralei definite este 4.

Deoarece 2x este nenegativă pe intervalul [0, 2], valoarea coincide și cu aria de sub grafic pe acel interval.

Greșeli frecvente

Nu uita constanta C la integralele nedefinite. La integralele definite, înlocuiește corect limitele și calculează F(b) − F(a), nu invers. Regula puterilor are o excepție la exponentul −1: primitiva lui 1/x este ln|x| + C pe intervale care nu conțin zero.