Rezolvare polinoame – împărțire și rădăcini

Exemplu rezolvat: rădăcinile unui polinom

Considerăm polinomul P(x) = x³ − 6x² + 12x − 8.

Verificăm dacă numărul 2 este o rădăcină.

Pasul 1: Aplicăm teorema restului

Restul împărțirii lui P(x) la x − 2 este P(2).

Pasul 2: Calculăm valoarea P(2)

P(2) = 2³ − 6 × 2² + 12 × 2 − 8.

P(2) = 8 − 24 + 24 − 8 = 0.

Numărul 2 este rădăcină a polinomului.

Pasul 3: Factorizăm polinomul

Observăm formula cubului diferenței:

(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.

Aplicând formula, obținem:

P(x) = (x − 2)³.

Prin urmare, x = 2 este o rădăcină de multiplicitate 3.

Verificarea factorizării

(x − 2)³ = (x² − 4x + 4)(x − 2).

Dezvoltând produsul, obținem x³ − 6x² + 12x − 8, adică polinomul inițial.

Ce trebuie reținut?

Dacă P(a) = 0, atunci x − a este un factor al polinomului.

Dacă P(a) este diferit de zero, numărul a nu este rădăcină.