Rezolvare probleme cu funcții – domeniu, grafice, aplicații

Probleme cu funcții rezolvate pas cu pas

Studiul unei funcții începe prin stabilirea domeniului de definiție. În funcție de cerință, putem determina intersecțiile cu axele, semnul funcției, monotonia sau punctele de extrem.

Exemplul 1: intersecțiile cu axele

Se consideră funcția f(x) = x² − 4.

Pentru intersecțiile cu axa Ox, rezolvăm f(x) = 0.

x² − 4 = 0, deci x² = 4.

Obținem x = −2 sau x = 2.

Intersecțiile cu Ox sunt (−2, 0) și (2, 0).

Pentru intersecția cu Oy, calculăm f(0) = −4.

Intersecția cu Oy este (0, −4).

Exemplul 2: domeniul de definiție

Determinați domeniul funcției g(x) = √(x − 3).

Expresia de sub radical trebuie să fie nenegativă.

Impunem condiția x − 3 ≥ 0.

Rezultă x ≥ 3.

Domeniul este [3, +∞).

Exemplul 3: funcție de gradul întâi

Se consideră h(x) = 2x − 6.

Determinăm intersecția cu Ox:

2x − 6 = 0, deci x = 3.

Graficul intersectează Ox în (3, 0).

Intersecția cu Oy se obține pentru x = 0:

h(0) = −6, deci punctul este (0, −6).

Deoarece coeficientul lui x este pozitiv, funcția este strict crescătoare pe R.

Exemplul 4: minimul unei funcții pătratice

Considerăm funcția p(x) = x² − 4x + 5.

Completăm pătratul:

p(x) = (x − 2)² + 1.

Deoarece (x − 2)² ≥ 0 pentru orice x real, valoarea minimă a funcției este 1.

Minimul se atinge pentru x = 2.

Greșeli frecvente

Nu confunda intersecția cu Ox, unde f(x) = 0, cu intersecția cu Oy, unde x = 0. La funcțiile cu radicali sau fracții, verifică domeniul înainte de orice calcul. Pentru grafice, marchează corect punctele și unitățile pe axe.