Rezolvare progresii – aritmetică și geometrică
Progresiile apar la liceu și BAC. Cele mai importante formule sunt: termenul general și suma primilor n termeni.
Formule cheie
- PA: aₙ = a₁ + (n−1)·r
- PA: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
- PG: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹
- PG: Sₙ = a₁(1−qⁿ)/(1−q) (q≠1)
Exemplu
Într-o progresie aritmetică: a₁=3, r=2. Determină a₁₀ și S₁₀.
Exemplu rezolvat: progresie aritmetică
Într-o progresie aritmetică avem a₁ = 3 și rația r = 2. Calculăm al zecelea termen și suma primilor zece termeni.
Pasul 1: Calculăm termenul a₁₀
Formula este aₙ = a₁ + (n − 1) × r.
a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 2.
a₁₀ = 3 + 18 = 21.
Al zecelea termen este 21.
Pasul 2: Calculăm suma S₁₀
Formula este Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.
S₁₀ = 10 × (3 + 21)/2 = 120.
Suma primilor zece termeni este 120.
Exemplu rezolvat: progresie geometrică
Considerăm progresia geometrică cu a₁ = 2 și rația q = 3.
Calculăm al patrulea termen:
a₄ = a₁ × q³ = 2 × 27 = 54.
Calculăm suma primilor patru termeni:
S₄ = 2 × (3⁴ − 1)/(3 − 1).
S₄ = 2 × 80/2 = 80.
Rezultat: a₄ = 54 și S₄ = 80.
Verificare
Primii patru termeni sunt 2, 6, 18 și 54. Suma lor este 80, deci rezultatul este corect.
Greșeli frecvente
La progresia aritmetică adunăm aceeași rație, iar la progresia geometrică înmulțim cu aceeași rație. Nu confunda cele două formule ale termenului general.
Rezolvă progresii cu GeniuAI
Scrii problema sau încarci poza și primești pașii explicați.
Rezolvă cu GeniuAI